فهرست بستن

نظریه اعداد

دکتر مزبان حبیبی ۰ نظر
از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد

مارپیچ اولمان (مارپیچ اعداد اول)

تجزیه اعداد صحیح به عوامل اولشان، نقطه مرکزی مطالعات در نظریه اعداد است که می توان آن را به کمک این نوع از مارپیچ اولمان (مارپیچ اعداد اول) به تصویر کشید. نظریه اعداد به دنبال فهم خصوصیات دستگاه اعداد صحیح، با وجود پیچیدگی های آشکارش است.

نظریه اعداد (در گذشته به آن حساب یا حساب پیشرفته می گفتند) شاخه ای از ریاضیات محض است که خود را عمدتاً وقف مطالعه اعداد صحیح نموده است. ریاضیدان آلمانی، کارل فردریش گاوس (۱۷۷۷-۱۸۵۵) گفت: “ریاضیات ملکه علوم است، و نظریه اعداد ملکه ریاضیات.”[۱] نظریه اعداد دانان به مطالعه اعداد اول و همچنین خواص اشیائی که از اعداد ساخته می شوند می پردازند (به عنوان مثال اعداد گویا) یا تعمیم هایی از اعداد تعریف می کنند (مثل اعداد صحیح جبری).

اعداد صحیح را می توان به خودی یا به عنوان جواب معادلات (در هندسه سیاله ای) در نظر گرفت. سوالات حوزه ی نظریه اعداد اغلب از طریق مطالعه بر روی اشیاء تحلیلی (به عنوان مثال تابع زتای ریمان) بهتر فهمیده می شوند. می توان اعداد حقیقی را با کمک اعداد گویا مطالعه کرد، به عنوان مثال با تقریب زدن به کمک اعداد گویا (تقریب سیاله ای).

اصطلاح قدیمی برای نظریه اعداد حساب بود. اوایل قرن بیستم، عبارت “نظریه اعداد” جایگزین آن شد.[note ۱] (کلمه ی “حساب” نزد عوام به عنوان “محاسبات مقدماتی” پنداشته می شود. همچنین این اصطلاح در منطق ریاضیات به معنای حساب پئانو و در علوم رایانه به معنای حساب ممیز شناور می باشد.) استفاده از اصطلاح حساب برای نظریه اعداد در نیمه دوم قرن بیستم رواج پیدا کرد، ادعا می شود که ترویج آن تحت تأثیر فرانسوی ها بوده است.[note ۲] به‌خصوص، اصطلاح حسابی به عنوان یک صفت نسبت به نظریه اعدادی ترجیح داده می شود.

حساب در قرون وسطای شرق

کمال‌الدین فارسی ریاضی‌دان و فیزیک‌دان برجسته ایرانی سهم عمده‌ای در گسترش نظریه اعداد داشته است.[۲]

نظریه مقدماتی اعداد

نوشتار اصلی: اعداد اول

در نظریه مقدماتی اعداد، اعداد صحیح را بی استفاده از روش‌های به‌کار رفته در سایر شاخه‌های ریاضی بررسی می‌کنند. مسائل بخش پذیری، الگوریتم اقلیدس برای محاسبه بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک (ب.م. م)، تجزیه اعداد به اعداد اول، جستجوی عدد کامل perfect number و همنهشتی‌ها در این رده هستند. برخی از یافته‌های مهم این رشته قضیه کوچک فرما، قضیه اعداد اول و قضیه اویلر، قضیه باقیمانده چینی و قانون تقابل درجه دوم هستند. خواص توابع ضربی مانند تابع موبیوس و تابع φ اویلر و دنباله اعداد صحیح و فاکتوریل‌ها و اعداد فیبوناچی در همین حوزه قرار دارند.

حل بسیاری از مسائل در نظریه مقدماتی اعداد بر خلاف ظاهر ساده آن‌ها نیازمند کوشش بسیار و به‌کار گرفتن روش‌های نوین است. چند نمونه:

  • حدس گلدباخ در مورد نمایش اعداد زوج به صورت جمع دو عدد اول،
  • حدس کاتالان در مورد توانهای متوالی از اعداد صحیح،
  • حدس اعداد اول تؤامان در مورد بینهایت بودن زوج‌های اعداد اول،
  • حدس کولاتز در مورد تکرار ساده،
  • حدس اعداد اول مرسن در مورد بینهایت بودن اعداد اول مرسن و …

همچنین ثابت شده که نظریه معادلات دیوفانتی تعمیم‌ناپذیر است (به مسئله دهم هیلبرت مراجعه کنید).

نظریه تحلیلی اعداد

در نظریه تحلیلی اعداد از حسابان و آنالیز مختلط برای بررسی سؤالاتی در مورد اعداد صحیح استفاه می‌شود. مثال‌هایی در این مورد قضیه اعداد اول و حدس ریمان هستند. مسئله وارینگ (یعنی نمایش هر عدد صحیح به صورت جمع چند مربع یا مکعب)، حدس اعداد اول تؤامان (یافتن بینهایت عدد اول با اختلاف ۲)، و حدس گلدباخ (نمایش هر عدد زوج به‌صورت مجموع دو عدد اول) نیز با روشهای تحلیلی مورد حمله قرار گرفته‌اند. اثبات متعالی (ترافرازنده) بودن ثابت‌های ریاضی مانند π و e نیز در بخش نظریه تحلیلی اعداد قرار دارند. اگرچه حکم‌هایی در مورد اعداد ترافرازنده خارج از محدوده مطالعات اعداد صحیح به نظر می‌آید، در واقع مقادیر ممکن برای چندجمله‌ای‌ها با ضریب‌های صحیح مانند e را بررسی می‌کنند. همچنین این‌گونه مسائل با مبحث تقریب دیوفانتین نیز ارتباط نزدیک دارند که موضوع آن این است که چگونه می‌توان یک عدد حقیقی داده شده را با یک عدد گویا تقریب زد؟

نظریه جبری اعداد

در نظریه جبری اعداد، مفهوم عدد به اعداد جبری، که همان ریشه‌های چندجمله‌ای‌هائی با ضریب گویا هستند، گسترش می‌یابد. در این حوزه اعدادی مشابه اعداد صحیح با نام اعداد صحیح جبری وجود دارد. در این عرصه لازم نیست ویژگی‌های آشنای اعداد صحیح (مانند تجزیه یگانه) برقرار باشد. مزیت روش‌های استفاده شده در این رشته (مثل نظریه گالوا، میدان همانستگی field cohomology، نظریه رده میدان class field theory، نمایش‌های گروه‌ها و توابع-L) این است که برای این رده از اعداد، نظم را تا حدودی تأمین می‌کند.

نظریه هندسی اعداد

نظریه هندسی اعداد (که قبلاً به آن هندسه اعداد می‌گفتند) جنبه‌هایی از هندسه را به نظریه اعداد پیوند می‌دهد؛ و از قضیه مینکوفسکی در ارتباط با نقاط توری در مجموعه‌های محدب و تحقیق در مورد چپاندن کره‌ها (sphere packings) در فضای Rn شروع می‌شود.

نظریه ترکیبیاتی اعداد

نظریه ترکیبیاتی اعداد به مسائلی در نظریه اعداد می‌پردازد که با روش‌های ترکیبیاتی بررسی می‌شوند. پل اردوش بنیان‌گذار اصلی این شاخه از نظریه اعداد بود. الگوریتم‌های سریع برای امتحان اعداد اول و تجزیه اعداد صحیح در رمزنگاری کاربردهای مهمی دارند.

یادداشت ها

  1. ↑ Already in 1921, T. L. Heath had to explain: “By arithmetic, Plato meant, not arithmetic in our sense, but the science which considers numbers in themselves, in other words, what we mean by the Theory of Numbers.” (Heath 1921, p. 13)
  2. ↑ Take, for example, Serre 1973. In 1952, Davenport still had to specify that he meant The Higher Arithmetic. Hardy and Wright wrote in the introduction to An Introduction to the Theory of Numbers (۱۹۳۸): “We proposed at one time to change [the title] to An introduction to arithmetic, a more novel and in some ways a more appropriate title; but it was pointed out that this might lead to misunderstandings about the content of the book.” (Hardy & Wright 2008)

ارجاعات

  1. ↑ Long 1972, p. 1.
  2. ↑ CHRONOLOGY OF IRANIAN HISTORY PART 1 iranicaonline.org

منابع

  • Apostol, Tom M. (۱۹۷۶). Introduction to analytic number theory. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN ۹۷۸-۰-۳۸۷-۹۰۱۶۳-۳. Retrieved ۲۰۱۶-۰۲-۲۸.
  • Apostol, Tom M. (n.d.). “An Introduction to the Theory of Numbers”. (Review of Hardy & Wright.) Mathematical Reviews (MathSciNet). American Mathematical Society. MR ۰۵۶۸۹۰۹. Retrieved ۲۰۱۶-۰۲-۲۸. (Subscription needed)
  • Becker, Oskar (۱۹۳۶). “Die Lehre von Geraden und Ungeraden im neunten Buch der euklidischen Elemente”. Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik. Abteilung B:Studien (به German). ۳: ۵۳۳–۵۳.
  • Boyer, Carl Benjamin; Merzbach, Uta C. (۱۹۹۱) [۱۹۶۸]. A History of Mathematics (۲nd ed.). New York: Wiley. ISBN ۹۷۸-۰-۴۷۱-۵۴۳۹۷-۸. ۱۹۶۸ edition at archive.org
  • Clark, Walter Eugene (trans.) (1930). The Āryabhaṭīya of Āryabhaṭa: An ancient Indian work on Mathematics and Astronomy. University of Chicago Press. Retrieved ۲۰۱۶-۰۲-۲۸.
  • Colebrooke, Henry Thomas (۱۸۱۷). Algebra, with Arithmetic and Mensuration, from the Sanscrit of Brahmegupta and Bháscara. London: J. Murray. Retrieved ۲۰۱۶-۰۲-۲۸.
  • Davenport, Harold; Montgomery, Hugh L. (۲۰۰۰). Multiplicative Number Theory. Graduate texts in mathematics. ۷۴ (revised 3rd ed.). Springer. ISBN ۹۷۸-۰-۳۸۷-۹۵۰۹۷-۶.
  • Edwards, Harold M. (November 1983). “Euler and Quadratic Reciprocity”. Mathematics Magazine. ۵۶ (۵): ۲۸۵–۹۱. doi:10.2307/2690368. JSTOR ۲۶۹۰۳۶۸.
  • Edwards, Harold M. (2000) [1977]. Fermat’s Last Theorem: a Genetic Introduction to Algebraic Number Theory. Graduate Texts in Mathematics. ۵۰(reprint of 1977 ed.). Springer Verlag. ISBN ۹۷۸-۰-۳۸۷-۹۵۰۰۲-۰.
  • Fermat, Pierre de (۱۶۷۹). Varia Opera Mathematica (به French and Latin). Toulouse: Joannis Pech. Retrieved ۲۰۱۶-۰۲-۲۸.
  • Friberg, Jöran (August 1981). “Methods and Traditions of Babylonian Mathematics: Plimpton 322, Pythagorean Triples and the Babylonian Triangle Parameter Equations”. Historia Mathematica. ۸ (۳): ۲۷۷–۳۱۸. doi:10.1016/0315-0860(81)90069-0.
  • von Fritz, Kurt (2004). “The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum”. In Christianidis, J. Classics in the History of Greek Mathematics. Berlin: Kluwer (Springer). ISBN ۹۷۸-۱-۴۰۲۰-۰۰۸۱-۲.
  • Gauss, Carl Friedrich; Waterhouse, William C. (trans.) (1966) [1801]. Disquisitiones Arithmeticae. Springer. ISBN ۹۷۸-۰-۳۸۷-۹۶۲۵۴-۲.
  • Goldfeld, Dorian M. (۲۰۰۳). “Elementary Proof of the Prime Number Theorem: a Historical Perspective” (PDF). Retrieved ۲۰۱۶-۰۲-۲۸.
  • Goldstein, Catherine; Schappacher, Norbert (2007). “A book in search of a discipline”. In Goldstein, C.; Schappacher, N.; Schwermer, Joachim. The Shaping of Arithmetic after C.F. Gauss’s “Disquisitiones Arithmeticae”. Berlin & Heidelberg: Springer. pp. ۳–۶۶. ISBN ۹۷۸-۳-۵۴۰-۲۰۴۴۱-۱. Retrieved ۲۰۱۶-۰۲-۲۸.
  • Granville, Andrew (۲۰۰۸). “Analytic number theory”. In Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre. The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press. ISBN ۹۷۸-۰-۶۹۱-۱۱۸۸۰-۲. Retrieved ۲۰۱۶-۰۲-۲۸.
  • Porphyry; Guthrie, K.S. (trans.) (۱۹۲۰). Life of Pythagoras. Alpine, New Jersey: Platonist Press.
  • Guthrie, Kenneth Sylvan (۱۹۸۷). The Pythagorean Sourcebook and Library. Grand Rapids, Michigan: Phanes Press. ISBN ۹۷۸-۰-۹۳۳۹۹۹-۵۱-۰.
  • Hardy, Godfrey Harold; Wright, E.M. (2008) [1938]. An Introduction to the Theory of Numbers (Sixth ed.). Oxford University Press. ISBN ۹۷۸-۰-۱۹-۹۲۱۹۸۶-۵. MR ۲۴۴۵۲۴۳.
  • Heath, Thomas L. (۱۹۲۱). A History of Greek Mathematics, Volume 1: From Thales to Euclid. Oxford: Clarendon Press. Retrieved ۲۰۱۶-۰۲-۲۸.
  • Hopkins, J.F.P. (1990). “Geographical and Navigational Literature”. In Young, M.J.L.; Latham, J.D.; Serjeant, R.B. Religion, Learning and Science in the ‘Abbasid Period. The Cambridge history of Arabic literature. Cambridge University Press. ISBN ۹۷۸-۰-۵۲۱-۳۲۷۶۳-۳.
  • Huffman, Carl A. (8 August 2011). Zalta, Edward N., ed. “Pythagoras”. Stanford Encyclopaedia of Philosophy (Fall 2011 ed.). Retrieved ۷ February2012.
  • Iwaniec, Henryk; Kowalski, Emmanuel (2004). Analytic Number Theory. American Mathematical Society Colloquium Publications. ۵۳. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN ۹۷۸-۰-۸۲۱۸-۳۶۳۳-۰.
  • Plato; Jowett, Benjamin (trans.) (۱۸۷۱). Theaetetus.
  • Lam, Lay Yong; Ang, Tian Se (2004). Fleeting Footsteps: Tracing the Conception of Arithmetic and Algebra in Ancient China (revised ed.). Singapore: World Scientific. ISBN ۹۷۸-۹۸۱-۲۳۸-۶۹۶-۰. Retrieved ۲۰۱۶-۰۲-۲۸.
  • Long, Calvin T. (1972). Elementary Introduction to Number Theory (۲nd ed.). Lexington, VA: D.C. Heath and Company. LCCN ۷۷۱۷۱۹۵۰.
  • Mahoney, M.S. (1994). The Mathematical Career of Pierre de Fermat, 1601–۱۶۶۵ (Reprint, 2nd ed.). Princeton University Press. ISBN ۹۷۸-۰-۶۹۱-۰۳۶۶۶-۳. Retrieved ۲۰۱۶-۰۲-۲۸.
  • Milne, J.S. (2014). “Algebraic Number Theory”. Available at www.jmilne.org/math.
  • Montgomery, Hugh L.; Vaughan, Robert C. (۲۰۰۷). Multiplicative Number Theory: I, Classical Theory. Cambridge University Press. ISBN ۹۷۸-۰-۵۲۱-۸۴۹۰۳-۶. Retrieved ۲۰۱۶-۰۲-۲۸.
  • Morrow, Glenn Raymond (trans., ed.); Proclus (۱۹۹۲). A Commentary on Book 1 of Euclid’s Elements. Princeton University Press. ISBN ۹۷۸-۰-۶۹۱-۰۲۰۹۰-۷.
  • Mumford, David (March 2010). “Mathematics in India: reviewed by David Mumford” (PDF). Notices of the American Mathematical Society. ۵۷ (۳): ۳۸۷. ISSN ۱۰۸۸-۹۴۷۷.
  • Neugebauer, Otto E. (۱۹۶۹). The Exact Sciences in Antiquity (corrected reprint of the 1957 ed.). New York: Dover Publications. ISBN ۹۷۸-۰-۴۸۶-۲۲۳۳۲-۲. Retrieved ۲۰۱۶-۰۳-۰۲.
  • Neugebauer, Otto E.; Sachs, Abraham Joseph; Götze, Albrecht (1945). Mathematical Cuneiform Texts. American Oriental Series. ۲۹. American Oriental Society etc.
  • O’Grady, Patricia (September 2004). “Thales of Miletus”. The Internet Encyclopaedia of Philosophy. Retrieved ۷ February ۲۰۱۲.
  • Pingree, David; Ya’qub, ibn Tariq (۱۹۶۸). “The Fragments of the Works of Ya’qub ibn Tariq”. Journal of Near Eastern Studies. ۲۶.
  • Pingree, D.; al-Fazari (۱۹۷۰). “The Fragments of the Works of al-Fazari”. Journal of Near Eastern Studies. ۲۸.
  • Plofker, Kim (2008). Mathematics in India. Princeton University Press. ISBN ۹۷۸-۰-۶۹۱-۱۲۰۶۷-۶.
  • Qian, Baocong, ed. (1963). Suanjing shi shu (Ten Mathematical Classics) (به Chinese). Beijing: Zhonghua shuju. Retrieved ۲۰۱۶-۰۲-۲۸.
  • Rashed, Roshdi (1980). “Ibn al-Haytham et le théorème de Wilson”. Archive for History of Exact Sciences. ۲۲ (۴): ۳۰۵–۲۱. doi:10.1007/BF00717654.
  • Robson, Eleanor (2001). “Neither Sherlock Holmes nor Babylon: a Reassessment of Plimpton 322” (PDF). Historia Mathematica. ۲۸ (۳): ۱۶۷–۲۰۶. doi:10.1006/hmat.2001.2317. Archived from the original (PDF) on 2014-10-21.
  • Sachau, Eduard; Bīrūni, ̄Muḥammad ibn Aḥmad (۱۸۸۸). Alberuni’s India: An Account of the Religion, Philosophy, Literature, Geography, Chronology, Astronomy and Astrology of India, Vol. 1. London: Kegan, Paul, Trench, Trübner & Co. Retrieved ۲۰۱۶-۰۲-۲۸.
  • Serre, Jean-Pierre (۱۹۹۶) [۱۹۷۳]. A Course in Arithmetic. Graduate texts in mathematics. ۷. Springer. ISBN ۹۷۸-۰-۳۸۷-۹۰۰۴۰-۷.
  • Smith, D.E. (1958). History of Mathematics, Vol I. New York: Dover Publications.
  • Tannery, Paul; Henry, Charles (eds.); Fermat, Pierre de (۱۸۹۱). Oeuvres de Fermat. (4 Vols.) (به French and Latin). Paris: Imprimerie Gauthier-Villars et Fils. Volume 1 Volume 2 Volume 3 Volume 4 (1912)
  • Iamblichus; Taylor, Thomas (trans.) (۱۸۱۸). Life of Pythagoras or, Pythagoric Life. London: J.M. Watkins. Archived from the original on 2011-07-21. For other editions, see Iamblichus#List of editions and translations
  • Truesdell, C.A. (۱۹۸۴). “Leonard Euler, Supreme Geometer”. In Hewlett, John (trans.). Leonard Euler, Elements of Algebra (reprint of 1840 5th ed.). New York: Springer-Verlag. ISBN ۹۷۸-۰-۳۸۷-۹۶۰۱۴-۲. This Google books preview of Elements of algebra lacks Truesdell’s intro, which is reprinted (slightly abridged) in the following book:
  • Truesdell, C.A. (۲۰۰۷). “Leonard Euler, Supreme Geometer”. In Dunham, William. The Genius of Euler: reflections on his life and work. Volume 2 of MAA tercentenary Euler celebration. New York: Mathematical Association of America. ISBN ۹۷۸-۰-۸۸۳۸۵-۵۵۸-۴. Retrieved ۲۰۱۶-۰۲-۲۸.
  • Varadarajan, V.S. (2006). Euler Through Time: A New Look at Old Themes. American Mathematical Society. ISBN ۹۷۸-۰-۸۲۱۸-۳۵۸۰-۷. Retrieved ۲۰۱۶-۰۲-۲۸.
  • Vardi, Ilan (April 1998). “Archimedes’ Cattle Problem” (PDF). American Mathematical Monthly. ۱۰۵ (۴): ۳۰۵–۱۹. CiteSeerX ۱۰.۱.۱.۳۸۳.۵۴۵. doi:10.2307/2589706. JSTOR ۲۵۸۹۷۰۶.
  • van der Waerden, Bartel L.; Dresden, Arnold (trans) (1961). Science Awakening. Vol. 1 or Vol 2. New York: Oxford University Press.
  • Weil, André (۱۹۸۴). Number Theory: an Approach Through History – from Hammurapi to Legendre. Boston: Birkhäuser. ISBN ۹۷۸-۰-۸۱۷۶-۳۱۴۱-۳. Retrieved ۲۰۱۶-۰۲-۲۸.
Tagged ،،

دیدگاهتان را بنویسید